一张白纸,不剪不裁,却能折出无数变化。有时候尺规作图无法完成的任务,折纸却能解决。为什么它能有如此多变化呢?这还要从折纸对应的几何操作说起了。

折纸几何公理

1991 年,日裔意大利数学家藤田文章(Humiaki Huzita) 指出了折纸过程中的 6 种基本操作,也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行,并且所有折痕都是直线,那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作:
1. 已知 A 、 B 两点,可以折出一条经过 A 、 B 的折痕

2. 已知 A 、 B 两点,可以把点 A 折到点 B 上去

3. 已知 a 、 b 两条直线,可以把直线 a 折到直线 b 上去

4. 已知点 A 和直线 a ,可以沿着一条过 A 点的折痕,把 a 折到自身上

5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ,可以沿着一条过 B 点的折痕,把 A 折到 a 上

6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线,可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上

容易看出,它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如,操作 1 实际上相当于连接已知两点,操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线,操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线,操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作,它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征,不是尺规作图一两下能作出来的(有时甚至是作不出来的)。正是这两个操作,让折纸几何有别于尺规作图,折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是,操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下,过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

操作 6 则更猛:把已知两点分别折到对应的已知两线上,最多可以有三个解!

一组限定条件能同时产生三个解,这让操作 6 变得无比灵活,无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析,我们能得出操作 6 有三种解的根本原因:满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说,给出两个已知点和两条对应的已知线后,寻找符合要求的折痕的过程,本质上是在解一个三次方程!

尺规作图到底局限在哪里

相比于折纸的几何操作,尺规作图就显得有些不够“强大”了。不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作:
过已知两点作直线

给定圆心和圆周上一点作圆

寻找直线与直线的交点

寻找圆与直线的交点

 寻找圆与圆的交点

这5项操作看上去变化多端,但前3项操作都是唯一解,后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看,尺规作图最多只能解决二次问题,加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则,势必比尺规作图更加强大。
正因为如此,一些尺规作图无法完成的任务,在折纸几何中却能办到。比如折纸法可以实现作正七边形,而这是无法用尺规作图办到的。
我们有更简单的例子来说明,用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一,它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍,本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方,因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是,折纸公理 6 相当于解三次方程,解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。
有意思的是,用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片,将它横着划分成三等份(方法有很多,大家不妨自己想想)。然后,将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上,同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么,纸片的左边界就被分成了 3√2 : 1 两段。

利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系,我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算,来看看三次方程是如何产生的。

第7个折纸公理

本文写到这里,大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后也就是 2001 年,事情又有了转折: 数学家羽鳥公士郎(Koshiro Hatori)发现,上述的 6 个折纸公理并不是完整的。 他给出了折纸的第 7 个定理。从形式上看,第 7 公理与已有的公理如出一辙,并不出人意料,很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前,大家不妨先自己想想,这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。
补充的公理是:
7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线,可以沿着一条垂直于 b 的折痕,把 A 折到 a 上。

后来,这 7 条公理就合称为了藤田-羽鳥公理(Huzita–Hatori 公理),你可以在